Az ergodicitás kérdése a befektetési döntésekben, avagy meddig járhat a korsó a kútra? (1. rész)

„…hogy pénzt csinálj, ahhoz először is túl kell élned” – Warren Buffett

„A racionalitás a túlélésről szól” – Nassim Taleb

Képzeljünk egy szerencsére és képességekre épülő számítógépes játékot, ahol az első esetben a játékosnak 100 élete van, azaz a játékban való elbukás esetén visszamehet a kezdetekhez és újra próbálkozhat.  Ilyen keretek közt a szerencse mérsékelt szerepet játszik, hiszen például, ha az első játékban a balszerencse is sújt, még marad 99, ahol a szerencse „eloszlása” miatt előbb vagy utóbb érvényesül a nagy számok törvénye és a képességek alapján teljesíthető az összes pálya a játékban. Most képzeljük el ezt a játékot úgy, hogy csak egy élet adott, nincs újrakezdési lehetőség, azaz, ha rögtön az első percben nincs szerencsénk és például jelentős veszteséget szenvedünk el, nagy valószínűséggel az egész játék véget ér még a siker előtt. A cél így értelemszerűen az lenne, hogy a képességeink az „egy életes” játékban is hasonlóan érvényesülni tudjanak, a lehető legközelebbi eredménnyel a „száz életes” játékhoz. Azon túl, hogy érezhetően más pszichológiai nyomás nehezedik utóbbi esetben egy játékosra, más, a való életben való boldogulást érintő következtetések is adódnak. A bejegyzés a két eset közti különbségtétel fontosságáról szól, különös tekintettel arra nézve, hogy sok esetben az elméleti keretrendszerek nem megfelelően kezelik ezt a kérdést.

Az ergodicitás fogalma

Egy dinamikus valószínűségi folyamatot akkor nevezhetünk ergodikusnak, ha az időbeli lefolyásának átlaga és a (térbeli) megvalósulási együttesátlaga megegyezik. A közgazdaságtanra vonatkoztatva egy hipotetikus ergodikus rendszerben a befektetési folyamat összességének várható értéke (azaz a hagyományos várható érték, ami a bekövetkezési valószínűségekkel súlyozott eredmény) és egy szereplő befektetésének várható időátlaga ugyanazt az értéket adná. Könnyen belátható, hogy a tőkepiacokon történő befektetés nem ergodikus, ami rámutat az egyes kockázati prémiumok és eszközosztályoktól elvárt hozam használatának szigorúan korlátos voltára.

Miért nem ergodikus a befektetési tevékenység?

A legegyszerűbben a számtani átlag és a geometriai átlag eltérésén keresztül érthető meg, noha ez nyilvánvalóan szándékos lebutítása a problémának. Ha 100 egység kezdeti befektetés mellett az egyik évben 50%-ot emelkedik a piac, a másikban 50%-ot esik, akkor a számtani átlag (ensemble average – mintha párhuzamos univerzumokban lezajlódó eseményeket átlagolnánk) alapján nem változott a vagyonunk, míg valójában (1+50%)*(1-50%), azaz 75%-os értéken állnak a befektetéseink. Azaz az együttesátlag (a párhuzamos univerzumok átlaga) és az időátlag eltér. Az érdekes az, hogy ebből a triviális példából mélyebb következtetések is adódhatnak.

Az alábbi ábra Ole Peters matematikus által modellezett példán keresztül szemlélteti az együttesátlag és az időátlag közti jelentős eltérés problémáját. A szimulált játék szabályos érmével történő pénzfeldobás, fej esetén 50%-os a nyereség, míg írás esetén 40%-os a veszteség a kockáztatott összegre vetítve – az alábbi szimulációban a teljes vagyonát kockáztatja a játékos. Az ábrákon nincs feltüntetve a csődesemény, ezért az elért vagyon jelentősen a negatív territóriumba is csúszhat.

olepeters

Forrás: Ole Peters Ted előadása

A bal oldali ábra egymillió különböző játékos 60 percen történő játékának várható értékét (vagyonának számtani átlagát) mutatja, míg a másik egy játékos 12 hónapon át történő játékának várható vagyonváltozását ábrázolja. Mint látható, az időátlag és az együttesátlag alakulása jelentősen eltér egymástól!

Az első ábra felfogható egyfajta teljes piacot bemutató várható értéknek, amely az összes szereplő vagyonváltozásának számtani átlagát mutatja. Hajlamosak vagyunk befektetési döntéseink során ebből kiindulni, pedig ez annak felel meg, mintha egymillió párhuzamos univerzumban játszhatnánk egyszerre. Más szavakkal, ha az egyikben jelentős veszteséget érünk el, egy új játékot kezdünk egy másik univerzumban. A jobb oldali ábra ezzel szemben egy játékos perspektíváját mutatja az idő előrehaladtával. Ebben az esetben nincs meg a lehetőség az újrakezdésre, „nincs időutazás”, az átlag alakulása útfüggő, számít az események időbelisége.

Az eltérést az okozza, hogy a bal oldali ábra átlagát erősen torzítják a kiugróan szerencsések, akik ellensúlyozzák a nagy tömegben bukást elszenvedő szereplőket. (Témánk szempontjából irreleváns, de ezek az összefüggések segíthetnek modellezni a társadalmi egyenlőtlenségeket, egyes gazdasági mutatók, mint például az egy főre jutó GDP erősen torzító hatását.)

Fokozottan érzékelhető az ergodicitás hiánya, ha a befektetni szándékozó szereplő csődbe is mehet, azaz „nem él túl”

Az idő az együttesátlag – azaz a valószínűségi folyamatok hagyományos várható értékének – kalkulálása során nem játszik szerepet, míg a szürke empíria szerint az idő irreverzibilis. Ha rossz pénzügyi döntést hoztunk és csődbe mentünk, akkor nem tudunk visszautazni az időben és újra megpróbálni, a „játék” véget ért.

Vegyük az induló példánkhoz nagyon hasonló esetet, amelyben egy befektetési esemény során a csődvalószínűség 1%. Amennyiben az együttesátlagot nézzük és mondjuk 100 piaci szereplőt vizsgálunk, elmondhatjuk, hogy 99 továbbra is folytathatja a befektetési tevékenységet, 1 személy csődje nem befolyásolja az „életben” maradt 99 befektetését. (Mintha 100 különböző univerzumban hajtanánk egyedül végre egy befektetést, 99-ben nem mennénk csődbe és így realizáljuk a befektetés várható értékét és csak 1-ben buknánk el, ami alig módosítja az elért hozamunkat.) Teljesen más a helyzet azonban, ha 1 személyt vizsgálunk 100 egymást követő, ismétlődő perióduson keresztül, 1%-os csődvalószínűség mellett. Egyrészt igen jelentős az esélye, hogy a repetitív kockázatnak kitéve az adott személy csődbe megy, másrészt, ha akármelyik periódusban – akár az első néhányban – elveszti minden pénzét, a játék véget ér (a fizikában használt kifejezéssel van „absorbing barrier”), nincs esély rá, hogy a várható értéket a befektető elérje.

Összeségében így elmondható, hogy abban a pillanatban amint egy valószínűségi folyamatban megjelenik a csőd lehetősége a hagyományos várható hozam számítás és az ezen alapuló optimalizálás szinte teljesen értelmét veszti. Ugyancsak csökkenti a hagyományos keretrendszer használhatóságát bármilyen befektetési döntésen kívüli esemény (magánszemélyek esetén például baleset, munkahely elvesztése stb.), amely a piacról való azonnali kilépést vonja maga után kényszerlikvidálás formájában.

Tapaszti Attila


A bejegyzés második részében az ergodicitás hiányának gyakorlati vonatkozásait vesszük majd górcső alá.


tapasztiattila

Tapaszti Attila, CFA

Vezető portfoliókezelő, MNB

2005-ben diplomázott a Pécsi Tudományegyetemen közgazdászként. Szakmai pályáját 2005-ben az Unicredit bankban nagyvállalati ügyfélmenedzserként kezdte, majd a Takarékbankban folytatta, mint részvényelemző, később, mint kötvény és strukturált termék kereskedő. Jelenlegi munkahelyéhez, a Magyar Nemzeti Bankhoz 2010-ben csatlakozott devizakereskedőként. 2013 óta vezető portfoliómenedzser pozícióban dolgozik a Befektetési főosztályon, amelynek fő feladata az ország devizatartalékának kezelése.


Főoldali kép forrása: pixabay.com

Az ergodicitás kérdése a befektetési döntésekben, avagy meddig járhat a korsó a kútra? (1. rész)” bejegyzéshez egy hozzászólás

Hozzászólások letiltva.